17. tel que, pour tout $x\geq A$, on a $\frac{f'(x)}{f(x)}\leq -M$. On en déduit que Par continuité $$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{\sigma(k)}{k^2}.$$ On procède par récurrence sur $n$. $\left(\int_1^n f(t)dt\right)$ est convergente. On suppose que la série $\sum_n u_n^2$ converge. Exo7 propose aux étudiants des cours de maths, des exercices avec corrections et des vidéos de mathématique avec niveau L1/Math Sup, L2/Math Spé, L3/Licence. Démontrer que $(I_n)$ tend vers 0. D'après la formule donnant la somme d'une suite géométrique (de raison $-x$ ici, avec $-x\neq 1$) on a Mais alors, écrivons Nous allons aussi voir la relation qui existe entre les séries et … Chapitre 02 : Séries numériques – Cours complet. Alors $(b_n)$ est bien une suite $q\geq 2N$ avec $qu_q\geq \veps$. Soit $\sigma$ une bijection de $\mathbb N^*$. Posons $a_n=1$. même somme que la série de terme général $a_n$. Les fonctions $g:x\mapsto f(e^{-x})$ et $h:x\mapsto \frac1xf\left(\frac 1x\right)$ sont décroissantes et positives. pour tout $n\geq n_0$, on a Fin du théorème C'est le cas par exemple pour la série entière ∑ n ≥ 1 z n n 2 {\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n^{2}}}} . }$ est décroissante. S'inspirer de la preuve que la série $\sum_n 1/n$ est divergente. $\sum_n u_n^2$ est donc convergente, et d'après la question précédente, il en est de même du produit infini $\prod_n (1+u_k)$. $$f(t)-f(n)=\int_n^tf'(u)du$$ On a convergence absolue, car à partir d'un certain rang, $|u_n|\leq 2/n^2$. L'hypothèse s'écrit encore $a_{n+1}u_{n+1}\geq a_nu_n$ pour tout $n\geq p$. En remarquant que $k^2\leq 4n^2$ pour $k$ allant de $n+1$ à $2n$, on a $$\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac {n^b}{(n+1)^b}=\left(1+\frac1n\right)^{-b}=1-\frac{b}{n}+o\left(\frac1n\right).$$ &=1-\frac{1}{2n+2}\\ Effectuant le produit des deux développements limités, on trouve qu'au premier ordre, Dans l'autre sens, en tout cas si $u_n\to 0$. Vrai! Il suffit d'étudier la fonction. On pose $v_n=\ln(nu_n)$ et $w_n=v_{n+1}-v_n$. On suppose que $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac1n+O\left(\frac1{n^2}\right).$ La question précédente prouve que la série de terme général $w_n$ converge. On écrit en effet Un premier résultat est : Théorème 2. \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} Prouvons-le (en s'inspirant de la preuve Suite numérique réelle . En regroupant toutes ces informations et en utilisant l'inégalité triangulaire, on conclut Soit $(a_n)$ une suite de nombres réels positifs tels que $\sum_n a_n$ diverge. \begin{eqnarray*} vers $+\infty$, que la série de terme général $v_n$ converge et que Dans ce cas, il existe un entier $N$ tel que, pour tout $n\geq N$, Montrer que $\prod_n(1+u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum_n \ln(1+u_n)$ converge. Ensuite, évaluer $\sum_{k=n}^b b_k$ où $n$ est arbitrairement grand Si $(-1)^n n u_n\to 1$, la série $\sum u_n$ converge. La série de terme général un est dite divergente dans le cas contraire. Démontrer que $\sum_n u_n$ est absolument convergente. Par récurrence, on montre aisément par récurrence sur $n$ que, pour $n\geq n_0$, Soit $f:[1,+\infty[\to\mathbb C$ une fonction de classe $\mathcal C^1$ telle que $f'$ est intégrable sur $[1,+\infty[$. que $\ln(p_n)\to\ln(l)$. On a bien $\sum_n |u_n|$ et $\sum_n n|u_n|$ qui sont deux séries numériques convergentes. Corrigé de l'examen du 10 Mai 2007. proche de la valeur donnée par l’alimentation du circuit. Si $\sum a_n$ diverge, alors $\sum b_n$ diverge. En utilisant l’égalité de Bessel-Parceval 16 π2 X∞ n=1 sin4(na) n2 = 1 π Z2a 0 1dx= 2a π, d’où X∞ n=1 sin4(na) n2 = aπ 8. &=&-u_{n+1}+2u_{n+2}-2u_{n+3}+2u_{n+4}-\cdots. On conclut à nouveau à la convergence de $\sum_n u_n$ à l'aide de la première question. Calculer $|R_{n+1}|-|R_n|$, regrouper les termes astucieusement et utiliser une des propriétés de la suite $(u_n)$. La série converge en a, donc fa(a) = 1 = 4 π X∞ n=1 sin3(na) n, ce qui donne X∞ n=1 sin3(na) n = π 4. Il vient Remarquons que la preuve n'est pas complètement terminée. En déduire que si la série $\sum_n u_n$ est \emph{absolument} convergente, alors le produit infini $\prod_n (1+u_n)$ Ainsi, par comparaison, la série de terme général $u_n$ diverge. A l’aide d’une série télescopique, montrer la convergence et calculer la somme de la série − 2 1 ln 1 n. 4. Théorème 1.4 : convergence d’une série télescopique C'est la série des termes d'une suite géométrique.Intuitivement, une série géométrique est une série avec un ratio constant des termes successifs. Pour $n\geq 1$ et $x\in[0,1]$, justifier l'égalité ce qui est le résultat annoncé. On suppose qu'il existe $l\in\mathbb R$ tel que La série ne peut pas converger car le critère de Cauchy n'est pas vérifié (ou plus simplement, si on note $S_n$ la $n$-ième somme partielle, si la série convergeait, alors $S_{2n}-S_{n}$ tendrait vers $0$, ce qui est impossible vue l'inégalité démontrée). On pose $v_n=\frac{u_n}{1+u_n}$. Sachant que $u_{n+1}/u_n$ tend vers 1, on en déduit que $|R_n|\sim_{+\infty}\frac{u_n}2.$ Maintenant, on sait aussi que $R_n=(-1)^{n+1}|R_{n}|$. La série de terme général u nf(S n) converge. On suppose pour toute la suite de l'exercice que $a_n=\frac{1}{n+1}$. fonction $e^{-Mx}$. et On écrit $$0\leq \sum_{j=p}^q a_j\leq \veps.$$ Par comparaison (les séries sont à terme positif), la série de terme général On a : $$\sum_{n\geq 1}nr^n=\sum_{n\geq 1}\frac{r^n}{1-r}=\frac{r}{(1-r)^2}.$$. 3. $$\sum_{n=1}^N u_n\leq \sum_{n=1}^{2^{K+1}-1}u_n\leq \sum_{k=0}^{K}\sum_{j=2^k}^{2^{k+1}-1}u_j\leq \sum_{k=0}^K 2^k u_{2^k}\leq M.$$ On pose, pour $n\geq 1$, on a $$\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\geq \frac{\frac 1l-1}2>0.$$ Par le premier point, $\sum_n u_n$ converge. \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} De plus, f n(0) = 0; 8n2N . Puisque α > 1, on a alors, pour n ≥ N, α 0 ≤ u ≤ u n. Puisque l’on travaille avec des séries à termes positifs, ceci entraine la n P α convergence de u. n ≥ 1 n 2. On a toujours $u_{2n+1}>u_{2n}$, et pourtant la série converge. On va déjà prouver que l'on est dans les conditions d'application du résultat précédent. Si la série numérique ∑ | | converge, alors la série entière converge normalement sur le disque fermé ¯, et la somme est donc définie continue sur ce disque. $$I_n=\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x}dx.$$ Academia.edu uses cookies to personalize content, tailor ads and improve the user experience. Exprimer $\sum_{n=1}^N v_n$ en fonction de $\sum_{n=1}^N nu_n$, et d'un autre terme. Or, la série de terme général $-\frac{u_n^2}2+o(u_n^2)$ est convergente, car son terme général est équivalent Montrer que si la série est divergente. Soit $N\geq 1$. Exercices corrigé dans Analyse NumériqueExercice 1 : une approximation de ( ). qui tend vers $0$. \begin{eqnarray*} &=&\sum_{j=1}^N a_j-\sum_{j=1}^N \frac{j}{N+1}a_j. Sommes partielles et restes. $$a_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-a_{n+1}\geq A.$$ Application 2 : étudier la convergence de $\sum_n u_n$ pour On a $(\sqrt{u_n}-\sqrt{v_n})^2\geq 0$ ce qui prouve que $0\leq \sqrt{u_nv_n}\leq \frac12\left(u_n+v_n\right)$. Ceci prouve le résultat. Démontrer que $\sum_n u_n$ diverge si $a<1$. $\sum_n \frac{\sigma(n)}{n^2}$ est divergente. On a donc par comparaison divergence de la série $\sum_n u_n$. 2. \end{eqnarray*}. Ainsi, les deux intégrales impropres ont la même nature. Il suffit de démontrer que la suite des sommes partielles $(S_n)$ est majorée. N_1$, on On a, pour $n\geq 0$, Une bonne justification peut se faire à l'aide du critère de Cauchy. Ainsi, on trouve le même résultat, alors que la série de terme général $u_n$ est parfois convergente, parfois divergente. On dit que le produit infini Puisque $(I_n)$ tend vers 0, on en déduit que $(S_n)$ converge vers $\ln 2$. Appliquons le résultat précédent avec $\beta=1/2$, on trouve que la série $\sum_n a_n$ est divergente. $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac1n+o\left(\frac1n\right).$$ Nous avons $(a_1\dots a_n)^{1/n}=\frac{(a_12a_2\dots na_n)^{1/n}}{(n! Construire $b_k$ pour $k\in[p_n,p_{n+1}[$. Ainsi, on a que la suite $(u_n)$ est décroissante. L'idée est qu'une fonction vérifiant une telle propriété décroit très vite vers 0 en $+\infty$, plus vite que n'importe quelle $\prod_n(1+u_n)$ converge lorsque la suite de terme général $\prod_{k=0}^n (1+u_k)$ admet une limite Montrer l'inégalité $\frac 1{(n! Prouver qu'il existe une suite $(b_n)$ positive et qui converge vers 0 que la suite $(T_n)$ est bornée. Démontrer que la série numérique $\sum f(n)$ converge si et seulement si la suite $\left(\int_1^n f(t)dt\right)$ converge. )^{1/n}}\leq \frac{e}{n+1}$. En effet, on a, pour tout $n\geq p$, En notant $p_N$ l'entier $p$ construit pour le choix de $N$, la suite $(p_N)$ tend vers $+\infty$, et on a pour tout entier $N$, Chapitre 1 Série numérique 1.1 Rappels sur les suites numériques Définition1.1.1.1 Unesuitenumérique(u n) n∈N (ousimplement(u n))estuneapplicationudeN dansC.L’imagedenestlen−ièmetermedelasuite. Faire un développement limité du logarithme. Maintenant, la série alternée converge par application du critère P 2n + 1 spécial des séries alternées, et la série vn , à terme général de signe constant, converge P elle aussi (série de Riemann). u_n&=&\frac{u_n}{u_{n-1}}\times\frac{u_{n-1}}{u_{n-2}}\times\dots\times\frac{u_{n_0+1}}{u_{n_0}}\times u_{n_0}\\ sommes partielles d'une des séries sont majorées si et seulement si les sommes partielles de l'autre le sont. élémentaire de la divergence de la série harmonique). Démontrer que la série Chapitre 1 : Séries numériques Exercice 1.1. &=&-\sum_{k=p}^{+\infty}(u_{2k+1}-2u_{2k+2}+u_{2k+3}) On pourra ensuite prouver que $R_n$ est équivalent à $f(n)$. Supposons à nouveau que $n=2p$ est pair. On en déduit le résultat demandé. En conclusion, La série Xn n≥1 f′ converge simplement sur Ik =]2kπ,2(k +1)π[pour tout k ∈ Z. Suites géométriques 1) Définition Exemple : Considérons une suite numérique (u n) où le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 2. $$1-x+\dots+(-1)^n x^n=\frac{1-(-1)^{n+1}x^{n+1}}{1+x}$$ La série de terme général $\ln(1+u_n)$ converge donc si et seulement si On en déduit que la suite $(\ln(nu_n))$ converge Mais alors, d'après la première Intégrons entre $0$ et $1$ l'égalité obtenue précédemment. On en déduit, pour tout $N\geq 2$, que Soit $M>0$. Etudier la nature de la série … $$\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq \frac{v_{n+1}}{v_n}.$$ \begin{align*} $$\frac{1}{1+x}=1-x+\dots+(-1)^n x^n+\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{1+x}.$$. $$f'(t)=\frac{\frac{t}{2\sqrt t}\cos(\sqrt t)-\sin(\sqrt t)}{t^2}=_{+\infty}O\left(\frac1{t^{3/2}}\right).$$ Soit $b\in]1,a[$ et posons $v_n=\frac1{n^b}$. On construit alors facilement par récurrence sur $n$ To browse Academia.edu and the wider internet faster and more securely, please take a few seconds to upgrade your browser. Or la série $\sum_n \frac 1{a_n}$ est divergente et à termes positifs. \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} et $p$ est tel que $S_p\leq 2S_n$, $S_{p+1}>2S_n$. &=\frac{(2n+2)(2n+1)}{4(n+1)^2}\\ que $f(y)\leq f(x)e^{-M(y-x)}$. Remarquons que, pour tout $x\in[0,1]$, on a Démontrer que la série $$\sum_{k=p_N}^{2p_N}u_k\geq \frac \veps 2.$$ On a Sorry, preview is currently unavailable. On pose pour $n\geq0$, $u_n=S_{2n}$ et $v_n=S_{2n+1}$. Pour cela, on remarque que En déduire que $\sum_n u_n$ converge si $a>1$. w_n&=&\ln\left(\frac{(n+1)u_{n+1}}{nu_n}\right)=\ln\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac1n+O\left(\frac1{n^2}\right)\right)\right)\\ $$\frac{a_{n+1}}{a_n}\leq \frac{b_{n+1}}{b_n}.$$ Penser à l'inégalité arithmético-géométrique, en remarquant que $$\left(\frac{\ln n}{\ln n+\ln(1+1/n)}\right)^b=1+O\left(\frac1{n\ln n}\right).$$ $$S_N \leq \frac{a_p u_p}A+S_p.$$ On suppose \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} Prenant les exemples de $a_n=1$ ou $a_n=1/(n+1)$, on observe que la série et si . (car le terme général ne tend pas vers 0), donc le produit infini ne converge pas. La première chose à faire est d'intégrer $f'/f$ pour obtenir des estimations de $f$. mais il est aussi facile d'écrire des bêtises! Mais Avec les notations de l'exercice, la convergence de $\sum_n u_n$ est donc équivalente à la convergence Donc la suite $(|R_n|)$ est décroissante. Faux! Pour $u_n=1$, $u_{n+1}/u_n=1$ et $\sum_n u_n$ diverge. Application : Soit $a_n=\frac{(2n)!}{(n! De même, la croissance de $(v_n)$ assure que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $v_n\leq \ell$. $$u_n\geq (l-\varepsilon)^{n-n_0}u_{n_0}.$$ $$0\leq\frac{x^{n+1}}{1+x}\leq x^{n+1}.$$ Alors on a Soit $\alpha>0$ et $b_n=\frac1{n^\alpha}$. Prendre $u_{2n}=1/n^2$ et $u_{2n+1}=2/n^2$. Il existe donc un entier $N\geq 0$ tel que, pour $n\geq N$, on a $0\leq u_n\leq 1$. Montrer que si cette série est convergente pour une valeur donnée, elle converge pour tout . terme qui garde un signe constant. Supposons d'abord $a>1$, et prenons $b\in ]1,a[$. \begin{eqnarray*} Démontrer qu'il existe $\alpha>1$ et $N\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\geq N$, on ait, $$a_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-a_{n+1}=-\frac{n+1}{2n+1}\leq 0.$$ est divergente et est unique. On a \end{eqnarray*} $$a_n\frac{u_n}{u_{n+1}}-a_{n+1}\leq 0.$$ Soit $n$ arbitrairement grand. Le point clé est l'encadrement suivant : By using our site, you agree to our collection of information through the use of cookies. On a convergence par majoration (le terme général est positif). \end{eqnarray*}. On prend la même suite $(a_n)$, et on observe que $\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\to\frac 1l-1>0$, et donc pour $n$ assez grand, $u_{n+1}/u_n$ tend vers 1. Puisque $\sum_n b_n$ diverge, on déduit de la question 1 la divergence de $\sum_n a_n$ (on échange bien sûr le rôle joué par $(a_n)$ et $(b_n)$). Le cas $a=1$ est bien un cas limite. Montrer que $w_n=O\left(\frac1{n^2}\right)$. Se convaincre de sa nature sur des exemples. \end{eqnarray*} façon suivante : $\ell$ d'amplitude inférieur ou égal à $10^{-6}$. Montrer que, si $u_n\geq 0$, alors le produit $\prod(1+u_n)$ est convergent si et seulement si la série $\sum_n u_n$ Si $k>N$, il apparait $N$ fois. \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} La démonstration est complètement similaire si $n$ est impair. On a d'une part ce qui est en réalité le résultat souhaité. En mathématiques, la série géométrique est l'un des exemples de série numérique les plus simples. positive qui tend vers 0, et la série $\sum_n a_nb_n$ est divergente, puisqu'on a On distingue deux cas : si $(u_n)$ tend vers 0, alors $u_n\sim_{+\infty}v_n$, et ces deux suites sont positives. Pour $u_n=\frac 1{n^2}$, $u_{n+1}/u_n$ tend vers 1 et $\sum_n u_n$ converge. On va conclure par la règle de Kummer en utilisant à chaque fois $a_n=n$. le résultat de la première question. $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)\left(\frac{\ln (n)}{\ln(n+1)}\right)^b=\left(1-\frac1n+o\left(\frac1n\right)\right)\left(\frac{\ln (n)}{\ln(n)+\ln(1+1/n)}\right)^b.$$ D'après les deux questions précédentes, on a En conclure que On en déduit que $a_nu_n\geq a_pu_p$, et donc que Démontrer que si $\beta<1$, alors $\sum_n a_n$ diverge. c'est-à-dire $u_n\sim\frac\lambda n$. $$u_{n+1}-u_n=S_{2n+2}-S_{2n}=a_{2n+2}-a_{2n+1}\leq 0$$ Quelle Distinguer les cas $u_n\to 0$ et $(u_n)$ ne tend pas vers 0. $$\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\left(1+\frac 1n\right)^{-\alpha}=1-\frac{\alpha}{n}+o\left(\frac 1n\right).$$. et $\int_1^{+\infty}h(t)dt$. On obtient $$T_n\leq C.$$ Au contraire, supposons maintenant que $l<1$ et, dans un premier temps, $l\neq 0$. On suppose que $\sum_n u_n$ converge. En particulier, pour tout $x\in [0,1]$, puisque $x^{n+1}\geq 0$, on a Pour $n\in\mathbb N$, on pose $$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} 18. On suppose que $\sum_n u_n$ diverge. $$\left|\sum_{n=p}^q w_n\right|\leq \veps.$$ =ex, ou aussi, pour tout nombre complexe z de module strictement inférieur à 1, la série numérique de terme général zn converge et on sait que ∀z ∈ D(0,1), +X∞ n=0 zn … \end{eqnarray*} 6 CHAPITRE 1. Concrètement, avec des quantificateurs, cela se traduit comme suit. Démontrer que pour tout $n\geq N$, $b_Na_n\leq a_N b_n$. Le produit infini est convergent s'il existe un réel $l\neq 0$ Démontrer que la série numérique $\sum f(n)$ converge si et seulement si la suite $\left(\int_1^n f(t)dt\right)$ converge. $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=1-\frac{\beta}n+o\left(\frac 1n\right).$$. La série de fonctions ]converge uniformément sur tout intervalle [ (voir 1.) Soit $(a_n)$ une suite à termes positifs tels que $\sum_{n}a_n$ converge. Montrer que le produit $\prod_n \left(1+\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\right)$ est divergent. Ce ne semble pas si facile! $$\frac{\ln n}{\ln n+\ln(1+1/n)}=\frac{\ln n}{\ln n+O(1/n)}=\frac{1}{1+O(1/n\ln n)}=1+O\left(\frac1{n\ln n}\right).$$ On obtient Posons $u_n=\frac{1}{n(\ln n)^b}$ dont on rappelle qu'elle converge si et seulement si $b>1$. Démontrer que la convergence Maintenant, $\ln\left(1+\frac1{n+1}\right)\leq \frac{1}{n+1}$, d'où $\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq 1$. Puisque, au voisinage de $+\infty$, $u_n\to 0$ (car la série $\sum_n u_n^2$ converge), on a comparaison série-intégrale. En déduire que la série n≥0 un converge et préciser sa somme. Puisque $\alpha\in]0,1[$, on en déduit que $0\leq u_n\leq u_n^\alpha$. $\sum_{k=1}^{n-1} w_k=\ln(nu_n)-\ln(u_1)$. Maths Sup (Mathématiques supérieures) Chapitre 4 : Suites Numériques Cours de mathématiques supérieures sur les suites numériques Application : pour $|r|<1$, calculer $\sum_{n=1}^{+\infty}nr^n$. $$v_{n+1}-v_n=-a_{2n+3}+a_{2n+2}\geq 0$$ \begin{eqnarray*} Exercice 2 : a) Déterminer par la méthode des trapèzes puis par celle de Simpson ∫ ( ) l'erreur relative dans chaque cas. est convergente. Ceci prouve que la série est convergente. Pour cela, on calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ : $$\frac{b_{n+1}}{b_n}=1-\frac{\alpha}{n}+o\left(\frac 1n\right).$$, Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs telle qu'il existe $\beta\in\mathbb R$ avec Si $u_n>0$, et si la série $\sum u_n$ converge, alors la série de terme général $u_n^2$ converge. Il existe alors un entier $n_0$ tel que, $$f(n)=\int_n^{n+1}f(n)dt.$$. du logarithme (dans le sens direct) et de l'exponentielle (pour le sens réciproque), ceci est équivalent à dire Soit $(a_n)$ une suite de réels strictement positive. $$\frac{u_n}{S_n^\alpha}=\frac{S_n-S_{n-1}}{S_n^{\alpha}}\leq \int_{S_{n-1}}^{S_n}\frac{dt}{t^\alpha}.$$ Puisque $(l-\varepsilon)>1$, la série $\sum_n (l-\varepsilon)^n$ est divergente. On a alors, pour tout $n\geq n_0$ : \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} $$(a_1\dots a_n)^{1/n}\leq \frac{a_1+2a_2+\dots+na_n}{n(n! Puisque la suite $(u_n)$ décroit vers 0, il existe un entier $n$ tel que, pour tout $k\leq p$, Les termes extrêmes de la somme sont les termes généraux de séries convergentes, mais pas le terme central, d'où la divergence. &\leq&(l+\varepsilon)^{n-n_0}u_{n_0}. Autrement dit, la suite des sommes partielles $(S_N)_N$ est majorée. $$u_n\geq C v_n.$$ Exercice 6 Convergence et valeur de . $$\int_0^1 \sum_{k=0}^n (-1)^k x^kdx=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}=S_n.$$ )^2}\times\frac{4^n}{4^{n+1}}\\ et dans ce cas, les séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ ont bien la même nature. à $-u_n^2/2$ qui garde un signe constant. $R_n=\sum_{k\geq n}f(k)$. et que $\sum u_n$ est divergente. Ainsi, il existe $C\in\mathbb R$ tel que $\sum_{k=1}^nw_k\to C$. Ainsi, $(u_n)$ est décroissante. La preuve serait identique si $n$ était impair. $$\int_1^X f(e^{-t})dt=\int_e^{e^X}\frac{1}{u}f\left(\frac 1u\right)du.$$ De même, $R_{n+1}$ est positif. Calcul numérique. $$\sum_{n=1}^{+\infty}v_n=\sum_{n=1}^{+\infty}nu_n.$$, Posons $u_n=r^n$. Soit $f$ une application croissante, continue et positive de $]0,1]$ dans $\mathbb R$. Les fonctions $x\mapsto f(e^{-x})$ et $x\mapsto \frac1xf\left(\frac 1x\right)$ sont décroissantes. $$. Il s'agit parfois d'un sujet de concours intégral , mais aussi parfois de sujet adapté à l'état d'avancement de mon cours. Exercice 6 Trouver les coefficients de … $$\sum_{k=n}^p b_k=\sum_{k=n}^p\frac{a_{k+1}}{S_k}\geq \sum_{k=n}^p \frac{a_{k+1}}{2S_n}=\frac{S_{p+1}-S_n}{2S_n}\geq $$\sum_{n=p}^q u_n\leq\sum_{n=p}^q v_n\leq \sum_{n=p}^q w_n,$$ on tire Ainsi, la série $\sum_n v_n$ est aussi divergente, C'est donc que $|R_{n+1}|-|R_n|\leq 0$. $$\sum_{k=p_n}^{p_{n+1}-1}a_kb_k\geq 1,$$ Faire de même pour la série $\sum_n v_n$. \begin{eqnarray*} que si $N$ est assez grand, alors $$u_{n+1}\leq 2|R_n|\textrm{ et }2|R_{n+1}|\leq u_{n+1}$$ \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*} On suppose que la série de terme général $a_n$ est divergente, $u_n$ converge puisque la série de terme général $v_n$ converge. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb N$, on a $$\sum_{k=p}^{2p} u_k\geq \sum_{k=p}^{2p}\frac{\veps}q\geq \frac{q}2\times\frac{\veps}q\geq \frac \veps 2.$$ Si la série de terme général un converge, la somme de la série est S = lim n→+∞ Sn = lim n→+∞ Xn k=0 uk. 2.Pour n > 2, on pose u n = 1 n+( 1)n p n. 8n > 2, u n existe et de plus u n ˘ n!+¥ 1 n. Comme la série de terme général 1 n, n>2, diverge et est positive, la série de terme général u n diverge. Alors $\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\to\frac 1l-1<0$, et donc pour $n$ assez grand, Soit $(u_n)$ une suite décroissante de réels de limite nulle. $$u_n=\int_n^{n+1}\big(f(t)-f(n)\big)dt.$$ Il vient Le but de l'exercice est de déterminer un équivalent du reste de certaines séries alternées. \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} Ainsi, supposons que $\sum_k 2^k u_{2^k}$ est convergente, et soit $M$ tel que, pour tout $K$, Démontrer que pour tout $n\geq 0$, $|R_n|+|R_{n+1}|=u_{n+1}$. Les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. $$0\leq S-\sum_{n=1}^N a_n\leq \veps.$$ On note $S_n=\sum_{k=1}^n u_k$. $\sum_n u_n$ converge. $$u_n\leq C v_n$$ Soit $(u_n)$ une suite positive et décroissante. Démontrer la convergence de l'intégrale en faisant un changement de variables.... On écrit que Il existe un entier $N_0$ tel que, pour tout $q\geq p\geq N_0$, on ait Notons $p_n=\prod_{k=0}^n (1+u_k)$. Utiliser $\sum_{n=j}^N \frac{1}{n(n+1)}=\frac1j-\frac1{N+1}$. On note $\ell$ sa limite. Prouver que si la série $\sum_n u_n$ est convergente, $$\left|\sum_{n=p}^q u_n\right|\leq \veps.$$ Alors $R_n$, somme d'une série alternée dont le premier terme est négatif, est négatif. $$|R_n|=-\sum_{k=n+1}^{+\infty}(-1)^ku_k\textrm{ et }|R_{n+1}|=\sum_{k=n+2}^{+\infty}(-1)^k u_k.$$ Academia.edu no longer supports Internet Explorer. Pour $n>n_0$, on a $0\leq u_n\leq 1$ et donc $0\leq u_n^2\leq u_n\leq 1$. On a $0\leq \frac{b_N}{a_N} a_n \leq b_n$ et la série $\sum_n a_n$ diverge. Posons $u_n=\left(\frac{n+1}e\right)^n\times\frac{1}{n!}$. exercice analyse numérique bibmath. &=&\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\times e^{-1}\\ Alors série numérique de terme général xn n!, n ∈ N, converge et on sait que ∀x ∈ R, X+∞ n=0 xn n! Application : étudier la nature de $\sum_n \frac{\sin(\sqrt n)}n$. 1. Commencer en écrivant que et on note $S_n=a_0+\dots+a_n$, $b_n=a_{n+1}/S_n$. $$\sum_{n\geq 1}nr^n=\sum_{n=1}^{+\infty}v_n$$ avec $$2^ku_{2^{k+1}}\leq (2^{k+1}-2^k)u_{2^{k+1}-1}\leq u_{2^k}+\dots+u_{2^{k+1}-1}\leq (2^{k+1}-2^k)u_{2^k}\leq 2^k u_{2^k}.$$ $$\left|\sum_{n=1}^N \frac{a_1+\dots+n a_n}{n(n+1)}-S\right|\leq 3\veps.$$ $$2^ku_{2^{k+1}}\leq (2^{k+1}-2^k)u_{2^{k+1}-1}\leq u_{2^k}+\dots+u_{2^{k+1}-1}\leq (2^{k+1}-2^k)u_{2^k}\leq 2^k u_{2^k}.$$. Montrer que la suite $u_n=\left(\frac{n+1}e\right)^n\times\frac{1}{n! $$\sum_{n=1}^{+\infty}(a_1\dots a_n)^{1/n}\leq e\sum_{n=1}^{+\infty}a_n.$$. en $+\infty$. Calculer $v_{n+1}/v_n$ puis en déduire que $v_n\geq C u_n$ pour une constante $C>0$ bien choisie. }\times\left(\frac e{n+1}\right)^n\times n!\\ Ceci prouve bien, par le critère de Cauchy, la $\sum_n \frac{u_n}{S_n^\alpha}$ est convergente. \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} Soit $C>0$ tel que, pour tout $n\in\mathbb N$, Démontrer que les séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ sont de même nature. On suppose de plus que la suite $(u_n)$ vérifie les deux conditions suivantes : Alors, Posons aussi $v_n=\frac 1{n^b}$. Après avoir décomposé la fraction rationnelle 1 x(x+ 1), décider, en utilisant la dé nition de la convergence d'une série numérique, si la série X n>1 1 n(n+ 1) converge, et si oui, déterminer sa somme. Une suite numérique réelle est une fonction u qui à tout entier naturel n (ou tout entier supérieur à un certain entier naturel n_0), associe un réel : \bf u : n \mapsto u(n) La fonction qui à tout entier naturel n associe son double est une suite. Soit $\alpha\in ]1;\beta[$. $$\sum_{n=1}^N v_n=\sum_{n=1}^N \sum_{k=n}^{+\infty}u_k.$$ d'où il vient avertissement : Il s'agit à chaque fois d'un sujet et d'une proposition de soluition tels que donnés en devoir ou TD à mes étudiants. Dans le cas où $a<1$, on procède de même en choisissant cette fois $b\in]a,1[$. Si ce n'est pas le cas, alors il existe $\veps>0$ tel que, pour tout entier $N\in \mathbb N$, on peut trouver Prouver que $\sum_n u_n$ diverge. $$\frac{u_{n+1}}{u_n}\to l.$$, Soit $(u_n)$ une suite à termes positifs telle qu'il existe $a\in\mathbb R$ vérifiant \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} Si $(u_n)$ ne tend pas vers 0 (ce qui implique que $\sum_n u_n$ diverge), alors, il existe $\veps>0$ tel que, Ainsi, la convergence Si $(-1)^n n^2 u_n\to 1$, la série $\sum u_n$ converge. Puisque la série $\sum_n \frac 1n$ est divergente, il en est de même de $\sum_n u_n$. \end{align*} \frac{u_{n+1}}{u_n}&=&\left(\frac{n+2}{e}\right)^{n+1}\times\frac{1}{(n+1)! Supposons pour fixer les idées que $n$ est pair. $$\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{\sigma(k)}{k^2}\geq \frac18.$$ \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} de $\int_1^{+\infty}f(e^{-t})dt$ et celle de $\sum_n v_n$ à la convergence de $\int_1^{+\infty}\frac1tf\left(\frac 1t\right)dt.$ $$\left|\sum_{n=p}^q v_n\right|\leq \max\left(\left|\sum_{n=p}^q u_n\right|,\left|\sum_{n=p}^q w_n\right|\right)\leq est convergent. Prenons $N=\max(N_1,N_2)$ et $q\geq p\geq N$. On a Soit $(u_n)$ une suite de réels tous strictement supérieurs à $-1$. et on devrait avoir $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac an+o\left(\frac1n\right).$$. Or, pour tout $t\in [n,n+1]$, on a Exercices corrigés indices pdf. Charles-Jean de La Vallée Poussin (1866 - 1962). et la suite $(v_n)$ tend vers 0. On va comparer à une intégrale chaque terme $\frac{u_n}{S_n^\alpha}$. Il en est de même de $\sum_n u_n$. Fixons $\veps>0$. Pour $n\geq 1$, on pose $T_n=\sum_{k=1}^n u_k-nu_n$. )^2}\left(\frac 14\right)^n$. Par le théorème des gendarmes, la suite $(I_n)$ tend vers 0. puisque la suite $(a_n)$ est décroissante. convergence de $\sum_n v_n$. Or, $\alpha-\beta<0$. pour tout $k\leq q$. On suppose qu'il existe $N\in\mathbb N$ tel que, (et qui est donc forcément strictement positif car chaque terme est positif) tel que $p_n\to l$. Soit $p\geq n$ tel que $S_p\leq 2S_n$ et $S_{p+1}>2S_n$. $$\sum_{k=p_N}^{2p_N}u_k=S_{2p_N}-S_{p_N-1}\to 0.$$ &=&\exp\left((n+1)\ln\left(1+\frac1{n+1}\right)\right)\times e^{-1}. On en déduit que A l'aide d'une comparaison à une intégrale, démontrer que pour tout $\alpha>1$, la série alors que cette quantité devrait tendre vers 0 si la série était convergente.
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